माना दो दीर्घवृत्तों के समीकरण $E_1: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ और $E_2: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ हैं। यदि उनकी उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है,तो दीर्घवृत्त $E_2$ के लघु अक्ष की लंबाई क्या है?

मान लीजिए $P$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक चर बिंदु है,जिसके नाभियाँ $F_1$ और $F_2$ हैं। यदि $\triangle PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $A$ है,तो $A$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

यदि दीर्घवृत्त $x^2+2y^2=2$ पर स्पर्श रेखाएं खींची जाती हैं,तो उन स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्देशांक अक्षों के बीच बनाए गए अंतःखंडों के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है?

ग्रह $M$ अपने सूर्य $S$ के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में घूमता है,जिसमें सूर्य एक नाभि पर स्थित है। जब $M$,$S$ के सबसे निकट होता है,तो वह $2$ इकाई दूर होता है। जब $M$,$S$ से सबसे दूर होता है,तो वह $18$ इकाई दूर होता है। यदि $S$ मूलबिंदु $(0, 0)$ पर स्थित है और दूसरी नाभि ऋणात्मक $y$-अक्ष पर स्थित है,तो ग्रह $M$ की दीर्घवृत्ताकार कक्षा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $y = mx + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब है,यदि $c = $

यदि $\beta$ दीर्घवृत्त $x^2 + 3y^2 = 9$ के बिंदुओं $(3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ और $(-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ पर अभिलंबों के बीच का एक कोण है,जहाँ $\theta \in (0, \pi/2)$,तो $\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta}$ का मान ज्ञात कीजिए।